Question

已知集合A={x|x²+4x=0}，函数B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}．
（1）求使A∩B=B的实数a的取值范围；
（2）使A∪B=B的实数a的取值．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：算法和程序框图

分析：（1）若A∩B=B，则A?B，分类求出满足条件的a的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数a的取值范围；
（2）若A∪B=B，则A⊆B，结合B中元素满足性质为二次方程的根及（1）中结论，可得答案．

解答： 解：（1）∵A={x|x²+4x=0}={-4，0}，又∵A∩B=B，即A?B．
∴B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}．
当B=∅时，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0无实数解，
∴△=4（a+1）²-4（a²-1）＜0．
解得a＜-1．
当B={0}或{-4}时，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有两个相等实数根，
∴△=4（a+1）²-4（a²-1）=0，得a=-1，此时B={0}，满足题意．
当B={-4，0}时，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有两个不相等实数根-4，0，
则-2（a+1）=-4+0且a²-1=0，
解得a=1，此时B={x|x²+4x=0}={-4，0}，满足题意．
综合以上可知a≤-1或a=1．
（2）由（1）得A={0，-4}．A∪B=B，即A⊆B．
又∵B为二次方程解集，其中最多有2个元素，
∴B={0，-4}，即方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有两根为0和-4．
由（1）可得a=1．
因此，若A∪B=B，则a=1．

点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，本题体现了分类讨论思想，要注意空集这一特殊集合．