Question

已知集合A={x|x²-2x-a=0，x∈R}，B={x|x²-4x+a+6=0，x∈R}
（1）若A=B=∅，求a的取值范围；
（2）若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围；
（3）若A和B中有且只有一个是∅，求a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：（1）首先，结合条件A=B=∅，即方程x²-2x-a=0和方程x²-4x+a+6=0无实根，从而得到a的取值范围；
（2）可以求解A≠∅，B≠∅的情形，然后，求解它的补集即可；
（3）分情况进行讨论，分为：A=∅，B≠∅；A≠∅，B=∅两种情形．

解答： 解：（1）∵A=B=∅，
∴方程x²-2x-a=0和方程x²-4x+a+6=0无实根，
∴

4+4a＜0 16-4(a+6)＜0

，
∴

a＜-1 a＞-2

，
∴-2＜a＜-1，
∴a的取值范围为（-2，-1）．
（2）当A≠∅，B≠∅时，
∴方程x²-2x-a=0和方程x²-4x+a+6=0都有实根，
∴

4+4a≥0 16-4(a+6)≥0

∴

a≥-1 a≤-2

，
∴a∈∅，
∴A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围为（-∞，+∞）；
（3）根据（1）
若A=∅，B≠∅；
∴

a＜-1 a≤-2

，
∴a≤-2，
若A≠∅，B=∅
∴

a≥-1 a＞-2

，
∴a≥-1，
∴a∈（-∞，-2]∪[-1，+∞）．

点评：本题重点考查集合的基本运算，结合一元二次方程根进行分类讨论，属于中档题．