Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn=2n+a(a为常数，n∈N*)．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）若数列{a_n}为等比数列，求常数a的值及a_n；
（3）对于（2）中的a_n，记f（n）=λ•a_2n+1-4λ•a_n+1-3，若f（n）＜0对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用an=

a1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能求出a₁，a₂，a₃．
（2）由数列{a_n}为等比数列，得到a22=a1•a3，由此能求出常数a的值及a_n．
（3）由an=2n-1，得到f（n）=λ（2ⁿ-2）²-3-4λ，由此能求出结果．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为Sn=2n+a(a为常数，n∈N*)，
∴a₁=S₁=2+a，
S₂=（2+a）+a₂=4+a，解得a₂=2，
a₃=S₃-S₂=8-4=4．
（2）∵数列{a_n}为等比数列，
由（1）知a₁=2+a，a₂=2，a₃=4，
∴a22=a1•a3，即4=（2+a）•4，
解得a=-1．
∴a1=1，q=

a2

a   1

=2，
∴an=2n-1．
（3）∵an=2n-1，
∴f（n）=λ•a_2n+1-4λ•a_n+1-3
=λ•2²ⁿ-4λ•2ⁿ-3
=λ（2ⁿ-2）²-3-4λ＜0，
∴λ＜

3

(2n-2)2-4

≤-

3

4

．
∴实数λ的取值范围是（-∞，-

3

4

）．

点评：本题考查数列的前n项和公式及其应用，解题时要注意等比数列的性质及其应用，要合理运用不等式知识进行解题．