Question

下列命题中的真命题是（　　）

• A、?x∈R，使得sinxcosx=

  3

  5

• B、?x∈（-∞，0），2^x＞1
• C、?x∈R，x²≥x-1
• D、?x∈（0，π），sinx＞cosx

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：A．利用倍角公式和正弦函数的单调性可得sinxcosx=

1

2

sin2x≤

1

2

＜

3

5

，即可判断出；
B．利用指数函数y=2^x在R上单调递增，当x∈（-∞，0），可得2^x＜2⁰=1，即可判断出；
C．?x∈R，利用二次函数的单调性可得：x²-（x-1）=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

＞0，即可得出；
D．举反例：x=

π

6

，sin

π

6

=

1

2

＜

3

2

=cos

π

6

即可判断出．

解答： 解：A．∵sinxcosx=

1

2

sin2x≤

1

2

＜

3

5

，因此不存在x∈R，使得sinxcosx=

3

5

成立；
B．∵指数函数y=2^x在R上单调递增，若x∈（-∞，0），则2^x＜2⁰=1，因此不存在x∈（-∞，0），
使得2^x＞1成立，因此不正确；
C．?x∈R，则x²-（x-1）=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

＞0，因此C正确；
D．?x∈（0，π），sinx＞cosx，不成立．例如x=

π

6

，sin

π

6

=

1

2

＜

3

2

=cos

π

6

．因此不正确．
综上可知：只有C正确．
故选：C．

点评：本题综合考查了指数函数、二次函数与三角函数的单调性及其倍角公式，属于基础题．