Question

已知下列四个命题；
①函数g(x)=1+

2

2x-1

是奇函数；
②函数f（x）=log₂x满足：对于任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＞

1

2

[f(x1)+f(x2)]；
③若函数f（x）满足f（x-1）=-f（x+1），f（1）=2，则f（7）=-2；
④设x₁，x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的两根，则x₁x₂=1；
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：①利用g（-x）+g（x）=0可判断其奇偶性；
②作出f（x）=log₂x的图象，数形结合即可判断②的正误；
③易知f（x）是以4为周期的函数，结合题意可求得f（7）=-2；
④x₁，x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的两根⇒log_ax₁=-log_ax₂，进一步整理可得x₁x₂=1，从而可知④的正误．

解答： 解：①，∵g（-x）+g（x）
=（1+

2

2-x-1

）+（1+

2

2x-1

）
=2+

2•2x

1-2x

+

2

2x-1

=

2(2x-1)+2

1-2x

+

2

2x-1

+2
=-2+

2

1-2x

+

2

2x-1

+2
=0，
∴g（-x）=-g（x），即①正确；
②，作出f（x）=log₂x的图象，

由图知，曲线上点P（其横坐标为

x1+x2

2

）的纵坐标大于线段P₁P₂的中点A的纵坐标，即f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，②正确；
③，∵f（x-1）=-f（x+1），令t=x-1，
则f（t+2）=-f（t），即f（t+4）=f（t），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，又f（1）=2，f（x-1）=-f（x+1），
∴f（7）=f（3）=-f（2-1）=-f（1）=-2，即③正确；
④，∵x₁，x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的两根，
∴log_ax₁=-log_ax₂=loga

1

x2

，
∴x₁=

1

x2

，即x₁x₂=1，故④正确；
综上所述，正确的命题的序号是①②③④，
故答案为：①②③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、单调性、周期性及函数图象的应用，考查分析与应用能力，属于难题．