Question

某班研究性学习小组在今年11月11日“双11购物节”期间，对[25，55）岁的人群随机抽取了1000人进行了一次是否参加“抢购商品”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．

组数	分组	抢购商品 的人数	占本组 的频率
第一组	[25，30）	120	0.6
第二组	[30，35）	195	p
第三组	[35，40）	100	0.5
第四组	[40，45）	a	0.4
第五组	[45，50）	30	0.3
第六组	[50，55]	15	0.3

（Ⅰ）求统计表中a，p的值；
（Ⅱ）从年龄在[40，50）岁参加“抢购商品”的人群中，采用分层抽样法抽取9人参满意度调查，其中3人感到满意，记感到满意的3人中年龄在[40，50）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出年龄在[40，45）的人数为150人，由此能求出a和p的值．
（Ⅱ）由题设知X=0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）因为总人数为1000人，
所以年龄在[40，45）的人数为1000×5×0.03=150人，
所以 a=150×0.4=60，
因为年龄在[30，35）的人数的频率为1-5×（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3，
所以年龄在[30，35）的人数为1000×0.3=300人，
所以p=

195

300

=0.65．…（6分）
（Ⅱ）依题抽取年龄在[40，45）之间6人，抽取年龄在[45，50）之间3人，
X=0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，P（X=1）=

C 1 6 C 2 3

C 3 9

=

18

84

，
P（X=2）=

C 2 6 C 1 3

C 3 9

=

45

84

，P（X=3）=

C 3 6

C 3 9

=

20

84

，
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	1 84	18 84	45 84	20 84

所以E（X）=0×

1

84

+1×

18

84

+2×

45

84

+3×

20

84

=2．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．