Question

如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．
（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；
（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出

ED

BD

=

EC

EO

，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．
（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．

解答： （Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．
由射影定理得EA²=ED•EO．
由切割线定理得EA²=EB•EC，
∴ED•EO=EB•EC，即

ED

BD

=

EC

EO

，
又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，
∴∠EDB=∠OCE．
∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）
（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，
结合（Ⅰ）得：
∠OEC=180°-∠OCB-∠COE
=180°-∠OBC-∠DBE
=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）
=∠DBC-∠ODC=20°．
∴∠OEC的大小为20°．…（10分）

点评：本题考查四点共圆的证明，考查角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意射影定理、切割线定理的合理运用．