Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+8．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若a₁=1，设T_n是数列{

1

anan+1

}的前n项和，求使不等式T_n≥

1

18

(m2-5m)对所有的n∈N^*恒成立的最大正整数m的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意S₄=2S₂+8，可求得公差d的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，d=2，a_n=2n-1，于是易求

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)≥

1

3

，依题意，不等式T_n≥

1

18

(m2-5m)对所有的n∈N*恒成立，
解不等式

1

3

≥

1

18

(m2-5m)，即可求得m的最大正整数值．

解答： 解：（Ⅰ）∵公差为d的等差数列{a_n}中，S₄=2S₂+8，
∴4a₁+6d=2（2a₁+d）+8，化简得：4d=8，
解得d=2．…（4分）
（Ⅱ）由a₁=1，d=2，得a_n=2n-1，…（5分）
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．…（6分）
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)≥

1

3

，…（8分）
又∵不等式T_n≥

1

18

(m2-5m)对所有的n∈N*恒成立，
∴

1

3

≥

1

18

(m2-5m)，…（10分）
化简得：m²-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
∴m的最大正整数值为6．…（12分）

点评：本题考查数列的求和，考查数列与不等式的综合，考查等价转化思想与恒成立问题，属于难题．