Question

O是△ABC外接圆的圆心，AB=1，AC=2，且

AO

=x

AB

+

4-x

8

AC

（x∈R，且x≠0），则△ABC的边长BC=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：画出图形，根据向量的数量积，求出∠BAC的余弦值，再利用余弦定理求出BC的值．

解答： 解：如图，；
延长AO交圆O于点D，连接CD；
∴

AO

•

AC

=x

AB

•

AC

+

4-x

8

AC

2，
即

1

2

AD

•

AC

=x|

AB

|×|

AC

|cos∠BAC+

4-x

8

×2²，
∴

1

2

（

AC

+

CD

）•

AC

=x×1×2cos∠BAC+

4-x

2

，
∴

1

2

×2²+

1

2

×0=2xcos∠BAC+

4-x

2

，
∴x=4xcos∠BAC，
∴cos∠BAC=

1

4

；
又BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
=1²+2²-2×1×2×

1

4

=4，
∴BC=2；
故答案为：2．

点评：本题考查了向量在几何中的应用以及余弦定理等知识，是综合题．