Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n=2n-1，数列{b_n}满足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题设条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知条件，利用累加求和法能求出b_n=n²+2n，从而得到

1

bn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n．且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
∴

4a1+ 4•3 2 d=4(2a1+d) a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．（5分）
（2）∵a_n=2n-1，数列{b_n}满足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），
∴当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₃-b₂）+（b₂-b₁）+b₁
=a_n+1+a_n+…+a₄+a₃+b₁
=n²+2n，
当n=1时，也成立，
∴b_n=n²+2n，
∴

1

bn

=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题要注意累加法和错位相减法的合理运用．