Question

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，E是BB₁的中点，且CE交BC₁于点P，点Q在线段BC上，CQ=2QB．
（1）证明：CC₁∥平面A₁PQ；
（2）若直线BC⊥平面A₁PQ，求直线A₁Q与平面BCC₁B₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△BEP≌△C₁CP，E是BB₁的中点，可得PQ∥EB∥C₁C，利用线面平行的判定定理，即可证明CC₁∥平面A₁PQ；
（2）延长QP与C₁B相交于点H，连接A₁H，A₁Q，证明直线A₁Q与平面BCC₁B₁所成角为∠A₁QH，即可求得结论．

解答： （1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△BEP≌△C₁CP，E是BB₁的中点，
∴

CP

PE

=

2

1

=

CQ

BQ

，
∴PQ∥EB∥C₁C，
∵CC₁?平面A₁PQ，PQ?平面A₁PQ，
∴CC₁∥平面A₁PQ；
（2）解：由（1）知，PQ∥C₁C，
∴PQ∥AA₁，
∴BC⊥平面A₁PQA，
∴BC⊥AQ．
∵∠BAC=90°，CQ=2QB，
∴AC=2

2

，AQ-

2 6

3

．
延长QP与C₁B相交于点H，连接A₁H，A₁Q，则
∵CC₁⊥AQ，∴AQ⊥平面BCC₁B₁，
∵PQ∥AA₁，HQ∥AA₁，
∴四边形A₁AHQ是平行四边形，
∴A₁H∥AQ，
∴A₁H⊥平面BCC₁B₁，
∴直线A₁Q与平面BCC₁B₁所成角为∠A₁QH，
∴cos∠A₁QH=

QH

A1Q

=

QH

AQ2+AA12

=

15

5

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定定理是关键．