Question

已知双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，则抛物线C₂的方程为（　　）

• A、x²=

  8 3

  3

  y
• B、x²=

  16 3

  3

  y
• C、x²=8y
• D、x²=16y

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．

解答： 解：∵双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，
∴c=2a，即

a2+b2

a2

=4，
∴

b2

a2

=3，
双曲线的一条渐近线方程为：

x

a

-

y

b

=0．
抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点（0，

p

2

）到双曲线C₁的渐近线的距离为2，
∴2=

| p 2b |

1 a2 + 1 b2

，
∵

b2

a2

=3，∴p=8．
∴抛物线C₂的方程为x²=16y．
故选：D．

点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．