Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且各项均不等于零，a_n+1+2a_na_n+1-a_n=0，（n∈N^*）
（1）求证数列{

1

an

}是等差数列；
（2）若a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＞

21

43

，求n的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件变形，得到

1

an+1

-

1

an

=2，由此证明数列{

1

an

}是等差数列．
（2）由（1）得到

an= 1 2n-1 (n∈N+)

，从而得到a_na_n+1=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此得到a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

n

2n+1

＞

21

43

，由此能求出n的取值范围．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，且各项均不等于零，
a_n+1+2a_na_n+1-a_n=0，（n∈N^*）
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴数列{

1

an

}是等差数列．
（2）由（1）知，数列{

1

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴

1

an

=1+(n-1)•2=2n-1，
∴{a_n}的通项公式为

an= 1 2n-1 (n∈N+)

，
∴a_na_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

，
∵a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1＞

21

43

，
∴

n

2n+1

＞

21

43

，解得n＞21，
∵n∈N^*，∴n≥22，n∈N^*．
∴n的取值范围{n|n≥22，n∈N^*}．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列前n项和的求法及其应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．