Question

已知平面上的动点P（x，y）及两个定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别为K₁，K₂且K₁K₂=-

1

4

（1）求动点P的轨迹C方程；
（2）设直线L：y=kx+m与曲线 C交于不同两点，M，N，当OM⊥ON时，求O点到直线L的距离（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接由直线PA，PB的斜率乘积等于-

1

4

列式求解；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，再由OM⊥ON，得到两线段对应的向量的数量积等于0，列式求得k与m的关系，然后由点到直线的距离公式整体计算求得O点到直线L的距离．

解答： 解：（1）设P（x，y），由已知得

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，
整理得x²+4y²=4，即

x2

4

+y2=1（x≠±2）；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，消去y得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．
由△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，得4k²+1-m²＞0．
x1+x2=-

8km

4k2+1

，x1x2=

4m2-4

4k2+1

，
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=(1+k2)x1•x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴(1+k2)•

4m2-4

4k2+1

+km•(-

8km

4k2+1

)+m2=0．
∴m2=

4

5

(k2+1)，满足4k²+1-m²＞0．
∴O点到l的距离为d=

|m|

1+k2

，即d2=

m2

1+k2

=

4

5

．
∴d=

2 5

5

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了点到直线的距离公式，体现了整体运算思想方法，是高考试卷中的压轴题．