Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M、N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

TM

•

TN

的最小值，并求此时圆T的方程；
（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点．试问；是否存在使S_△POS•S_△POR最大的点P，若存在求出P点的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为

3

2

，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），可求a，c，即可求求椭圆C的方程；
（Ⅱ）表示出

TM

•

TN

，利用配方法求最小值，可得M的坐标，从而可得圆的半径，即可求此时圆T的方程；
（Ⅲ）假设存在满足条件的点P，证明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4为定值，要使S_△POS•S_△POR最大，只要yp2最大，即可得出结论．

解答： 解：（I）由题意知

c a = 3 2 a=2

解之得：a=2，c=

3

，
由c²=a²-b²得b=1，
故椭圆C方程为

x2

4

+y2=1；．…（3分）
（II）点M与点N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），
不妨 设y₁＞0，由于点M在椭圆C上，∴y12=1-

x12

4

，
由已知T(-2，0)，则

TM

=(x1+2，y1)，

TN

=(x1+2，-y1)，
∴

TM

•

TN

=(x1+2，y1)•(x1+2，-y1)=(x1+2)2-y12=(x1+2)2-(1-

x12

4

)=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

，…..（6分）
由于-2＜x＜2，故当x1=-

8

5

时，

TM

•

TN

取得最小值为-

1

5

，
当x1=-

8

5

时y1=

3

5

，故M(-

8

5

，

3

5

)，
又点M在圆T上，代入圆的方程得r2=

13

25

，
故圆T的方程为：(x+2)2+y2=

13

25

；…..（8分）
（III）假设存在满足条件的点P，设P（x₀，y₀），则直线MP的方程为：y-y0=

y0-y1

x0-x1

(x-x0)，
令y=0，得xR=

x1y0-x0y1

y0-y1

，同理xS=

x1y0+x0y1

y0+y1

，
故xR•xS=

x12y02-x02y12

y02-y12

；…..（10分）
又点M与点P在椭圆上，故x02=4(1-y02)，x12=4(1-y12)，
得xR•xS=

4(1-y12)y02-4(1-y02)y12

y02-y12

=

4(y02-y12)

y02-y12

=4，
∴|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4为定值，…．（12分）
∵S_△POS•S_△POR=

1

2

|OS||yp|•

1

2

|OR||yp|=

1

4

×4×yp2=yp2，
由P为椭圆上的一点，∴要使S_△POS•S_△POR最大，只要yp2最大，而yp2的最大值为1，
故满足条件的P点存在其坐标为P（0，1）和P（0，-1）．…..（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．