Question

已知直线x+y-1=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的顶点和焦点F．
（Ⅰ）求此椭圆的标准方程；
（Ⅱ）斜率为k，且过点F的动直线l与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，求证直线BD过顶点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）把椭圆短轴上端点坐标及右焦点坐标代入直线x+y-1=0求得b，c的值，进一步求得a的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）当斜率不为0时设出直线l的方程，和椭圆方程联立得到A，B两点的横纵坐标的和与积，由对称性把D的坐标用A的坐标表示，然后把B，D的坐标代入椭圆方程，通过整体运算把BD的斜率用A，B的坐标表示，写出BD的方程，结合根与系数关系整体代入得到

2k2

1+2k2

x+(y2-y1)y=

4k2

1+2k2

，由此说明直线BD过定点（2，0），k=0时验证成立．

解答： （Ⅰ）解：由直线直线x+y-1=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的短轴端点（0，b）和右焦点
F（c，0），可得b=c=1，∴a²=b²+c²=2．
故椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1；  
（Ⅱ）证明：由椭圆C的方程可得右焦点为F（1，0），
∵直线AB的斜率为k，且直线经过右焦点F，
∴直线AB的方程为y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则点D的坐标为（x₁，-y₁）．
（1）当k≠0时，∵点B，D在椭圆C上，
∴

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，

x 2 1

2

+(-y1)2=1…①
∴-

x 2 1 - x 2 2

2

+(

y

2 1

-

y

2 2

)=0，依题意知x₁≠x₂，
∴直线BD的斜率kBD=

y2-(-y1)

x2-x1

=

1

2

x1+x2

y1-y2

，
则直线BD的方程为y-y2=

1

2

x1+x2

y1-y2

(x-x2)…②
由①②得，

(x1+x2)x

2

+(y2-y1)y=

x1x2

2

-y1y2+1…③
把直线AB的方程代入椭圆C的方程得

x2

2

+[k(x-1)]2=1，
即（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0…④
∵x₁，x₂是方程④的两个实数解，
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

…⑤
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]…⑥
把⑤代入⑥得，y1y2=k2[

2k2-2

1+2k2

-

4k2

1+2k2

+1]=

-k2

1+2k2

…⑦
把⑤⑦代入③得，

4k2

1+2k2

•

x

2

+(y2-y1)y=

2k2-2

1+2k2

•

1

2

-

-k2

1+2k2

+1，
即

2k2

1+2k2

x+(y2-y1)y=

4k2

1+2k2

，
令y=0，解得x=2．
此时，直线BD过定点（2，0）；
（2）当k=0时，点A，B为椭圆C的长轴端点，故点D与点A重合，
此时直线BD即为x轴，而x轴过点（2，0），则直线BD也过点（2，0）．
综上所述，直线直线BD过定点（2，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了分类讨论的数学思想方法，体现了整体运算思想方法，是高考试卷中的压轴题．