Question

设{a_n}为等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，a₃=4，a₆=32
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n 及前n项和S_n；
（2）设T=S_n+

64

Sn+1

，求T的最小值及此时n的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用等比数列的通项公式列出方程组，求出公比和首项，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n．
（2）由（1）得到T=2ⁿ-1+

64

2n

，由此利用均值不等式能求出T的最小值及此时n的值．

解答： 解：（1）∵{a_n}为等比数列，a₃=4，a₆=32，设公比为q，
∴

a1q2=4 a1q5=32

，解得a₁=1，q=2，
∴an=2n-1，Sn=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
（2）∵Sn=2n-1，
∴T=S_n+

64

Sn+1

=2ⁿ-1+

64

2n

≥2

2n• 64 2n

-1=15．
当且仅当2n=

64

2n

，即n=3时，T取最小值15．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．