Question

已知x＞0，且x≠1，数列{a_n}的前n项和为S_n，它满足条件

xn-1

Sn

=1-

1

x

，数列{b_n}中，b_n=a_n•lga_n．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对一切n∈N^*都有b_n＜b_n+1，求x的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）化简条件

xn-1

Sn

=1-

1

x

，表示出S_n，利用a_n=S_n-S_n-1求数列{a_n}通项公式，从而确定b_n应用对数运算的性质表示出T_n，利用错位相减法求和即可；
（2）将（1）中所求b_n代入b_n＜b_n+1，化简后分情况讨论，当x＞1时，由lgx＞0可得x＞

n

n+1

，解得，x＞1；当0＜x＜1时，由lgx＜0可得，x＜

n

n+1

，解得0＜x＜

1

2

．

解答： 解析：（1）∵

xn-1

Sn

=1-

1

x

，
∴Sn=

x(xn-1)

x-1

，
当n=1时，a1=S1=

x(x1-1)

x-1

=x，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

x(xn-1)

x-1

-

x(xn-1-1)

x-1

=xn，
∴an=xn（n∈N^*），
此时b_n=a_n•lgxⁿ=xⁿ•lgxⁿ=n•xⁿlgx，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=lgx•（x+2x²+3x²+…+nxⁿ），
设u_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ，
则xu_n=x²+2x³+3x⁴+…+（n-1）xⁿ+nxⁿ⁺¹，
∴（1-x）u_n=x+x²+x³+…+xⁿ-nxⁿ⁺¹=

x(xn-1)

x-1

-nxn+1
∴un=

nxn+1

x-1

-

x(xn-1)

(x-1)2

，
∴Tn=lgx•[

nxn+1

x-1

-

x(xn-1)

(x-1)2

]
（2）由b_n＜b_n+1?nxⁿlgx＜（n+1）xⁿ⁺¹lgx知，
①当x＞1时，由lgx＞0可得，
x＞

n

n+1

，
∵

n

n+1

＜1（n∈N^*）x＞1
∴x＞

n

n+1

对一切n∈N^*都成立，
∴解得，x＞1．
②当0＜x＜1时，由lgx＜0可得，
n＞（n+1）x，
即x＜

n

n+1

，
∵

n

n+1

≥

1

2

（n∈N^*），0＜x＜1，
∴0＜x＜

n

n+1

对一切n∈N^*都成立
∴此时的解为0＜x＜

1

2

，由①②可知，对一切n∈N^*，
都有b_n＜b_n+1的取值范围是0＜x＜

1

2

或a＞1．

点评：本题主要考查a_n=S_n-S_n-1的灵活应用，错位相减法求和，不等式恒成立问题的解决等综合知识，属于难题．