Question

已知函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，若函数f（x）的图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₄x₁+log₂₀₁₄x₂+…+log₂₀₁₄x₂₀₁₃的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：由题意可得P（1，1），f′（x）=（n+1）xⁿ，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，切线方程，在方程中，令y=0可得，x_n=

n

n+1

，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₃=

1

2

•

2

3

•

3

4

•…•

2013

2014

=

1

2014

，代入可求出答案．

解答： 解：由题意可得P（1，1）
对函数f（x）=xⁿ⁺¹求导可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，x_n=

n

n+1

．
∴x₁x₂…x₂₀₁₃=

1

2

•

2

3

•

3

4

•…•

2013

2014

=

1

2014

，
∴log₂₀₁₄x₁+log₂₀₁₄x₂+log₂₀₁₄x₃+…log₂₀₁₄x₂₀₁₃=log₂₀₁₄（x₁x₂…x₂₀₁₃）=log₂₀₁₄

1

2014

=-1．
故答案为：-1．

点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用，累乘及对数的运算性质的综合应用，还考查了基本运算的能力．