Question

如图所示，f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：
①若a＞0，对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②函数g（x）是奇函数的充要条件是b=0；
③任意a∈R，g（x）的导函数g′（x）有两个零点；
④若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；
其中，所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,必要条件、充分条件与充要条件的判断,函数单调性的判断与证明,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：①利用函数的单调性、导数与（割线）切线斜率的关系即可得出；
②利用奇函数的定义即可得出；
③由于g（x）的导函数g′（x）=af′（x），先研究f′（x）零点的个数即可；
④由于a≥1，b＜0，方程g（x）=0可化为f(x)=

-b

a

＞0，转化为函数y=f（x）与函数y=

-b

a

图象的交点个数即可．

解答： 解：①由函数f（x）的图象可知：当x∈[-1，1]时，函数f（x）单调递增，
∴f′（x）≥0，（只有x=±1，0时取等号），对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

=

af(n)+b-[af(m)+b]

n-m

=

a(f(n)-f(m))

n-m

．
由中值定理可得：?ξ∈（-1，1），使得af′（ξ）=

a(f(n)-f(m))

n-m

≥0，
∵a＞0，∴

f(n)-f(m)

n-m

≥0，而m＜n，故等号不成立，∴

f(n)-f(m)

n-m

＞0．
②∵f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，∴f（-x）+f（x）=0．
∵函数g（x）是奇函数?g（-x）+g（x）=0（x∈[-c，c]）?a[f（-x）+f（x）]+2b=0?2b=0?b=0．
因此函数g（x）是奇函数的充要条件是b=0，正确；
③由函数f（x）的图象可知：当x∈[-c，-1）时，函数f（x）单调递减，
∴f′（x）＜0；在x=-1时函数f（x）取得极小值，可得f′（-1）=0；当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调递增，
∴f′（x）＞0；在x=1时函数f（x）取得极大值，可得f′（1）=0；当x∈（1，c]时，函数f（x）单调递减，∴f′（x）＜0．
当a≠0时，g（x）的导函数g′（x）=af′（x）必有两个零点；
当a=0时，对?x∈[-c，c]，都有g′（x）=0，此时有无数个零点．
因此③不正确．
④若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0化为f(x)=

-b

a

＞0，画出函数y=

-b

a

．由图象可知：当

-b

a

＞f(-c)时，函数y=f（x）与y=

-b

a

的图象至多有两个交点，因此方程g（x）=0必有3个实数根是错误的．
综上可知：只有①②正确．
故答案为：①②．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数单调性极值、方程解的个数转化为函数图象交点的个数、奇函数的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．