Question

已知函数f（x）=|x-2|-a．
（1）当a=1时，求f（x）≤1的解集；
（2）若f（x）≥|x+3|恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）当a=1时，解不等式|x-2|-1≤1即可求得其解集；
（2））|x-2|-a≥|x+3|恒成立?a≤|x-2|-|x+3|恒成立，令g（x）=|x-2|-|x+3|，则a≤g（x）_min，求得g（x）_min即可．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）≤1?|x-2|-1≤1，
∴|x-2|≤2，
解得：0≤x≤4．
∴当a=1时，f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤4}；
（2）∵|x-2|-a≥|x+3|恒成立，
∴a≤|x-2|-|x+3|恒成立，
令g（x）=|x-2|-|x+3|，
则a≤g（x）_min，
当x＜-3时，g（x）=5；
当-3≤x≤2时，g（x）=-2x-1∈[-5，5]；
当x＞3时，g（x）=-5；
∴g（x）_min=-5．
∴a≤-5，
即a的取值范围为（-∞，-5]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想、构造函数思想与函数恒成立问题，属于中档题．