Question

如图，焦点在x轴的椭圆，离心率e=

2

2

，且过点A（-2，1），由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到A点处被直线y=1反射后交椭圆于Q点（Q点与P点不重合）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）求证：直线PQ的斜率为定值；
（3）求△OPQ的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆方程，利用离心率e=

2

2

，且过点A（-2，1），求出几何量，即可得出椭圆标准方程；
（2）设直线AP方程、直线AQ的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q的坐标，即可得出结论；
（3）设PQ的方程为y=-x+m，代入椭圆方程，利用弦长公式求出|PQ|，再求出原点O到直线的距离，可得△OPQ的面积，利用基本不等式，即可求其最大值．

解答： （1）解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，
∵椭圆经过点（-2，1），
∴

4

a2

+

1

b2

=1，
∵e=

c

a

=

2

2

，
∴a=

6

，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

3

=1（5分）
（2）证明：设直线AP方程为y=k（x+2）+1，则直线AQ的方程为y=-k（x+2）+1
由

y=kx+2k+1 x2 6 + y2 3 =1

可得（1+2k²）x²+4k（2k+1）x+8k²+8k-4=0，△＞0，
设P（x₁，y₁），由A（-2，1）可得x1-2=

-4k(2k+1)

1+2k2

，x1=

-4k2-4k+2

1+2k2

，
∴P（

-4k2-4k+2

1+2k2

，

-2k2+4k+1

1+2k2

），
同理可得Q（

-4k2+4k+2

1+2k2

，

-2k2-4k+1

1+2k2

），
∴k_PQ=-1（10分）
（3）由（2），设PQ的方程为y=-x+m，代入椭圆方程得：3x²-4mx+2m²-6=0．
令△＞0，得-3＜m＜3，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

4m

3

，x1•x2=

2m2-6

3

，
∴|PQ|2=

16(9-m2)

9

设原点O到直线的距离为d，则d2=

m2

2

，
∴

s

2 △OPQ

=

1

4

|PQ|2d2=

2m2(9-m2)

9

≤

9

2

，
当m=±

3 2

2

时，△OPQ面积的最大值为

3 2

2

（15分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式，属于中档题．