Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴的右侧，且与y轴相切，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆

x2

25

+

y2

b2

=1(b＞0)的离心率为

4

5

，且左右焦点为F₁，F₂，试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF₁F₂为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的P点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求圆C的方程，只要求出圆心与半径即可，而已知圆C的半径为4，圆心在x轴上，圆C位于y轴的右侧，且与y轴相切，故圆心为（4，0），从而可得圆C的方程；
（Ⅱ）假设存在满足条件的点P，根据椭圆方程可先求出F₁，F₂的坐标为（-4，0），（4，0），若△PF₁F₂为直角三角形，则过F₂作x轴的垂线与圆交与两点，两点都满足题意，过F₁作圆的切线，两个切点都满足题意．故有4个点符合题意．

解答： 解：（Ⅰ）∵圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴的右侧，
∴可设圆的方程为（x-a）²+y²=16，（a＞0）
∵圆与y轴相切，
∴a=4，
∴圆的方程为：（x-4）²+y²=16．
（Ⅱ）∵椭圆

x2

25

+

y2

b2

=1(b＞0)的离心率为

4

5

，
∴e=

c

a

=

25-b2

5

=

4

5

，
解得：b=3
∴c=

a2-b2

=4，
∴F₁（-4，0），F₂（4，0）
∴F₂（4，0）恰为圆心C．
①过F₂作x轴的垂线与圆交与两点P₁，P₂，
则∠P₁F₂F₁=∠P₂F₂F₁=90°，
符合题意；
②过F₁作圆的切线，分别与圆切于点P₃，P₄，
连接CP₁，CP₂，则∠F₁P₁F₂=∠F₁P₂F₂=90°．符合题意．
综上，圆C上存在4个点P，使得△PF₁F₂为直角三角形．

点评：本题考查圆的方程，椭圆方程以及与椭圆相关的综合性问题，探索性问题的解决技巧等．属于难题．