Question

已知焦点在x轴上的抛物线C过点E(2，2

2

)．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为D，求四边形OADB的面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设抛物线方程y²=2px，代入已知点的坐标求得p，则抛物线方程可求；
（2）设出直线AB的方程为x=ky+1，联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后由根与系数关系求得三角形AOB的面积，由对称性把四边形OADB的面积转化为三角形AOB的面积，则四边形的面积最小值可求．

解答： 解：（1）依题意设抛物线C的方程为：y²=2px，
∵点E(2，2

2

)在抛物线上，∴(2

2

)2=2p×2
解得p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）由（1）知 F（1，0），则可设直线AB的方程为：x=ky+1，
由

x=ky+1 y2=4x

，消去y得：y²-4ky-4=0．
△=（4k）²-4×1×（-4）=16k²+16＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，S△AOB=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

(4k)2+16

=2

k2+1

，
∵点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为D，
∴S_△AOB=S_△ADB，
故S四边形OADB=2S△AOB=4

k2+1

，
∴当k=0时，S_{四边形OADB}有最小值4，
∴四边形OADB的面积的最小值为4．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题．