Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（ a＞b＞0）的焦距为2

3

，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l：y=2x+b（b∈R）与椭圆Γ相交于A、B两点，且∠AOB为钝角．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）求b的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（ a＞b＞0）的焦距为2

3

，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，求出a，b，即可求椭圆Γ的方程；
（2）直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，即可求b的取值范围．

解答： 解：（1）由已知

a2-b2=3 a=2b

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆Γ的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，可得17x²+16bx+4b²-4=0，
∴△=256b²-16×17（b²-1）＞0，即b²＜17，且x₁+x₂=-

16b

17

，x₁x₂=

4b2-4

17

∴y₁y₂=4x₁x₂+2b（x₁+x₂）+b²=

b2-16

17

．
∵∠AOB为钝角，
∴x₁x₂+y₁y₂=

5b2-20

17

＜0，
∴-2＜b＜2，
∵b=0时，∠AOB为平角，
∴b的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．