Question

给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是

 

①存在实数α，使sinαcosα=1；
②存在实数α，使sinα+cosα=

3

2

；
③y=sin(

5π

2

-2x)是偶函数；
④x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)的一条对称轴方程；
⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据二倍角公式得到sinαcosα=

1

2

sin2α，结合正弦函数的值域可判断①正误；
根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）结合正弦函数的可判断②正误；
根据诱导公式得到 y=sin(

5π

2

-2x)=sin（

π

2

-2x）=cos2x，再由余弦函数的奇偶性可判断③正误；
将x=

π

8

代入到y=sin(2x+

5π

4

)得到sin（2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，根据正弦函数的对称性可判断④正误．
利用反例判断⑤的正误，即可．

解答： 解：对于①，由sinα•cosα=1，得sin2α=2，矛盾；①错误．
对于②，由sinα+cosα=

3

2

，得

2

sin（α+

π

4

）=

3

2

，矛盾；②错误．
对于③，y=sin(

5π

2

-2x)=sin（

π

2

-2x）=cos2x，是偶函数；③正确．
对于④，将x=

π

8

代入到y=sin(2x+

5π

4

)得到sin（2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)的图象的一条对称轴方程．④正确．
对于⑤，不妨取β=60°，α=390°，α＞β但是sinα＜sinβ．∴⑤不正确．
故③④正确
故答案为：③④．

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式、诱导公式和三角函数的对称性．考查三角函数公式的综合应用．三角函数的公式比较多，很容易记混，平时要注意积累．是基础题．