Question

若数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=na_n．求{b_n}的前10项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由an =

2，n=1 2n-1，n≥2

，b_n=na_n，知{b_n}的前10项和T₁₀=2+2•2+3•2²+…+10•2⁹，由此利用错位相减法能求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ，
∴a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
当n=1时，2^n-1=1≠a₁，
∴an =

2，n=1 2n-1，n≥2

．
（Ⅱ）∵an =

2，n=1 2n-1，n≥2

，b_n=na_n，
∴{b_n}的前10项和T₁₀=2+2•2+3•2²+…+10•2⁹，①
2T₁₀=2•2+2•2²+3•2³+…+10•2¹⁰，②
②-①，得：T₁₀=-2-2²-2³-…-2⁹+10•2¹⁰
=10•2¹⁰-

2(1-29)

1-2

=9•2¹⁰+2
=9218．

点评：本题考查数列的通项公式和前10项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用，是中档题．