Question

如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有

 

．（填上所有正确命题的序号） 
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④异面直线PM与BD所成的角为45°．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可得出．

解答： 解：在四面体ABCD中，∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN，PQ?平面ACD，MN?平面ACD，∴PQ∥平面ACD．
∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN．
同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN．
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，
∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°．
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．
∴

PN

BD

=

AN

AD

，

MN

AC

=

DN

AD

，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC．
综上可知：①③④都正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于基础题．