Question

设函数y=4 x-

1

2

-a•2^x+

a2

2

+1（0≤x≤2）的最小值为g（a）
（1）求g（a）的解析式；
（2）求g（a）的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）化函数y为2^x的二次函数，讨论a的取值，求出y的最小值即为g（a）；
（2）由g（a）的解析式，讨论a的取值，求出g（a）的值域．

解答： 解：（1）∵函数y=4 x-

1

2

-a•2^x+

a2

2

+1
=

22x

4

-a•2^x+

a2

2

+1
=

1

2

×（2^x）²-a•2^x+

1

2

a²+1
=

1

2

（2^x-a）²+1，
当0≤x≤2时，
1≤2^x≤4；
∴若a＜1，y的最小值为

1

2

（1-a）²+1；
若1≤a≤4，y的最小值为1；
若a＞4，y的最小值为

1

2

（4-a）²+1；
∴g（a）=

1 2 (1-a)2+1，a＜1 1，   1≤a≤4 1 2 (4-a)2+1，a＞4

．
（2）∵g（a）=

1 2 (1-a)2+1，a＜1 1，   1≤a≤4 1 2 (4-a)2+1，a＞4

，
∴当a＜1时，g（a）=

1

2

（1-a）²+1
=

1

2

a²-a+

3

2

＞g（1）=1；
当1≤a≤4时，g（a）=1；
当a＞4时，g（a）=

1

2

（4-a）²+1
=

1

2

a²-4a+9＞g（4）=1；
∴g（a）的值域是[1，+∞）．

点评：本题考查了求函数解析式的问题以及求函数值域的问题，解题的关键是对参数a的取值讨论，是易错题．