Question

已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y=-1于点R，过点P作PQ⊥l交轨迹C于点Q，求△PQR的面积的最小值．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）化（1）中的抛物线方程为函数式，设出P点坐标，求出函数导函数，得到切线PR的方程，代入y=-1求得点R的横坐标，求出PQ所在直线方程，和抛物线联立化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系求得Q点横坐标，求出线段PQ和PR的长度，由三角形面积公式得到面积关于P点横坐标的函数，利用换元法及基本不等式求最值．

解答： 解：（1）设C（x，y），
由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|²-y²=4，
即x²+（y-2）²-y²=4，整理得：x²=4y．
∴动圆圆心的轨迹C的方程为x²=4y；
（2）C的方程为x²=4y，即y=

1

4

x2，故y′=

1

2

x，设P(t，

t2

4

)，
PR所在的直线方程为y-

t2

4

=

t

2

(x-t)，即y=

t

2

x-

t2

4

，
则点R的横坐标xR=

t2-4

2t

，|PR|=

1+ t2 4

|xR-t|=

4+t2 (t2+4)

4|t|

；                
PQ所在的直线方程为y-

t2

4

=-

2

t

(x-t)，即y=-

2

t

x+2+

t2

4

，
由

y=- 2 t x+2+ t2 4 y= 1 4 x2

，得

x2

4

+

2

t

x-2-

t2

4

=0，由xP+xQ=-

8

t

得点Q的横坐标为xQ=-

8

t

-t，|PQ|=

1+ 4 t2

|xP-xQ|=

1+ 4 t2

|

8

t

+2t|=

2 t2+4 (t2+4)

t2

，
∴S△PQR=

1

2

|PQ||PR|=

(t2+4)3

4t2|t|

，不妨设t＞0，记f(t)=

t2+4

t

，(t＞0)，
则当t=2时，f（t）_min=4．
由S△PQR=

1

4

[f(t)]3，得△PQR的面积的最小值为16．

点评：本题考查了轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题．