Question

数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2，a₁=2，等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₈．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由已知条件知数列{a_n}为等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由等比数列{b_n}满足b₁=a₁=2，b₄=a₈=16，利用等差数列和等比数列的通项公式能求出数列{b_n}的通项公式．
（II）由题意知cn=anbn=n2n+1，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（I）∵a_n+1-a_n=2，a₁=2，
∴数列{a_n}为等差数列，
∴a_n=2+（n-1）2=2n，（3分）
∵等比数列{b_n}满足b₁=a₁=2，b₄=a₈=16，
∴q3=

b4

b1

=8，q=2，
则bn=2n．（6分）
（II）∵a_n=2n，b_n=2ⁿ，
∴cn=anbn=n2n+1，
则Tn=1•22+2•23+3•24+…+n2n+1，
2Tn=1•23+2•24+3•25+…+n2n+2，
两式相减得-Tn=1•22+2•23+3•24+…+2n+1-n2n+2，（9分）
整理得Tn=(n-1)2n+2+4．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．