Question

如图，AB为半径为2的圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F．则AC²+BF•BM=

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：连结AM、AC、BC，由题设条件推导出A、M、F、E四点共圆，△ACB∽△AEC，从而得到AC²+BF•BM=4BE+4AE，由此能求出结果．

解答： 解：连结AM、AC、BC，
∵AB为半径为2的圆O的直径，∴AM⊥BM，AC⊥BC，
∵CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F．
∴∠AMF+∠AEF=180°，
∴A、M、F、E四点共圆，
∴BF•BM=BE•BA=4BE，
∵AC⊥BC，CE⊥AB，
∴△ACB∽△AEC，∴

AC

AE

=

AB

AC

，
∴AC²=AE•AB=4AE，
∴AC²+BF•BM=4BE+4AE=4AB=16．
故答案为：16．

点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用，注意切割线定理的合理运用．