Question

如图是将边长为2，有一内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E、F分别为AC、BD的中点，则下列命题中正确的是

 

．（将正确的命题序号全填上）．
①EF∥AB；
②当二面角A-BD-C的大小为60°时，AC=2；
③当四面体ABCD的体积最大时，AC=

6

；
④AC垂直于截面BDE．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质,二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：①取AD的中点P，易知PF∥AB，利用反证法可知EF不与AB平行；
②依题意知，△AFC为边长为

3

的等边三角形，从而可知②的正误；
③经分析知，当平面ABC⊥平面BCD时，四面体ABCD的体积最大，此时△AFC为边长为

3

的等腰直角三角形，从而可求其斜边AC的长；
④利用线面垂直的判定定理，可证得AC垂直于截面BDE，从而可知④之正误．

解答： 解：依题意，作图如下：

①，F为BD的中点，取AD的中点P，易知PF∥AB，若EF∥AB，则EF∥PF，与二者相交矛盾，故EF不与AB平行，①错误；
②，△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形，连接AF，CF，则AF⊥BD，CF⊥BD，∠AFC就是二面角A-BD-C的平面角，
若∠AFC=60°，则△AFC为等边三角形，AC=AF=ABsin60°=2×

3

2

=

3

，故②错误；
③，当四面体ABCD以平面BCD为底面，高最大时，
该四面体ABCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面BCD，AF就是其高，其值为

3

，
又此时△AFC为边长为

3

的等腰直角三角形，故AC=

2

•

3

=

6

，故③正确；
④，∵AF=FC，△AFC为等腰三角形，E为AC的中点，
∴AC⊥EF，又AC⊥BD，EF∩BD=F，
∴AC垂直于截面BDE，即④正确；
综上所述，命题中正确的是：③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查二面角的平面角及其应用，考查作图、分析与综合运算能力，属于难题．