Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．
（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（

MF

+

OD

）.

MO

的最小值为

7

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）求出线段AF、AB的垂直平分线方程，联立求得圆心坐标，由p+q≤0得到关于a，b，c的关系式，结合b²=a²-c²可得椭圆的离心率的取值范围；
（2）当椭圆离心率取得最小值

2

2

时，把a，b用含c的代数式表示，代入椭圆方程，设出M点坐标，求出（

MF

+

OD

）•

MO

，然后对c分类求出最小值，然后由最小值等于

7

2

求得c的值，则椭圆方程可求．

解答： 解：（1）设半焦距为c．
由题意AF、AB的中垂线方程分别为x=

a-c

2

，y-

b

2

=

a

b

(x-

a

2

)，
联立

x= a-c 2 y- b 2 = a b (x- a 2 )

，解得

x= a-c 2 y= b2-ac 2b

．
于是圆心坐标为(

a-c

2

，

b2-ac

2b

)．
由p+q=

a-c

2

+

b2-ac

2b

≤0，
整理得ab-bc+b²-ac≤0，
即（a+b）（b-c）≤0，
∴b≤c，于是b²≤c²，即a²=b²+c²≤2c²．
∴e2=

c2

a2

≥

1

2

，即

2

2

≤e＜1；
（2）当e=

2

2

时，a=

2

b=

2

c，此时椭圆的方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
设M（x，y），则-

2

c≤x≤

2

c，
∴(

MF

+

OD

)•

MO

=

1

2

x2-x+c2=

1

2

(x-c)2+c2-

1

2

．
当c≥

2

2

时，上式的最小值为c2-

1

2

，即c2-

1

2

=

7

2

，得c=2；
当0＜c＜

2

2

时，上式的最小值为

1

2

(

2

c)2-

2

c+c2，即

1

2

(

2

c)2-

2

c+c2=

7

2

，
解得c=

2 + 30

4

，不合题意，舍去．
综上所述，椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查与向量有关的最值问题，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题．