Question

设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是

 

．
①对任意x∈（-∞，1），都有f（x）＜0；
②存在x∈R，使a^x，b^x，c^x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，存在x∈（1，2）使f（x）=0．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：①变形f(x)=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，由0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，利用指数函数的单调性
可得(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞

a

c

+

b

c

-1＞0，进而得到f（x）＞0，即可判断出；
②令x=-1，a=2，b=4，c=5．则a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

，即可判断出；
③若三角形为钝角三角形，利用余弦定理可得：a²+b²-c²＜0．由于f（1）＞0，f（2）＜0．
利用函数零点判定定理即可判断出．

解答： 解：①f(x)=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]，由0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
对?x∈（-∞，1），(

a

c

)x+(

b

c

)x-1＞

a

c

+

b

c

-1＞0，∴f（x）＞0，∴命题①不正确；
②令x=-1，a=2，b=4，c=5．则a^x=

1

2

，b^x=

1

4

，c^x=

1

5

，不能构成一个三角形的三条边长．
∴命题②正确；
③若三角形为钝角三角形，则a²+b²-c²＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0．
∴?x∈（1，2），使f（x）=0．因此③正确．
综上可知：只有②③正确．
故答案为：②③．

点评：本题综合考查了指数函数的单调性、组成三角形三边的关系、余弦定理、函数零点存在判断定理等基础知识与基本技能方法，考查了变形转化解决问题的能力，属于难题．