Question

有下列命题：
①已知

a

， 

b

是平面内两个非零向量，则平面内任一向量

c

都可表示为λ

a

+μ

b

，其中λ，μ∈R；
②对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，则2

EF

=

AD

+

BC

；
③直线x-y-2=0的一个方向向量为（1，-1）；
④已知

a

与

b

夹角为

π

6

，且

a

•

b

=

3

，则|

a

-

b

|的最小值为

3

-1；
⑤

a

∥

c

是（

a

•

b

）•

c

=

a

•（

b

•

c

）的充分条件；
其中正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义和运算，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：当

a

 与

b

是共线向量时，根据平面向量基本定理可得①不正确．
对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，∴

FD

+

FC

=

0

，

EA

+

EB

=

0

；
再根据

EF

=

EB

+

BC

+CF，

EF

=

EA

+

AD

+

DF

，相加可得 2

EF

=

AD

+

BC

，故②正确．
直线x-y-2=0的一个方向向量为（1，1），故③不正确．
已知

a

与

b

夹角为

π

6

，且

a

•

b

=

3

，则|

a

|•|

b

|•cos

π

6

=

3

|

a

|•|

b

|=2，
|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

a 2+ b 2-2 a • b

≥

2| a |•| b | -2 a • b

=

4-2 3

=

3

-1，
故|

a

-

b

|的最小值为

3

-1，故④正确．
若

a

∥

c

，则

c

=λ

a

，可得（

a

•

b

）•

c

=|

a

|•|

b

|•cos＜

a

，

b

＞•λ

a

，

a

•（

b

•

c

）=|

a

|•|

b

|•cos＜

b

，

c

＞λ|

a

|=|

a

|•|

b

|•cos＜

b

，

a

＞•λ

a

，
∴（

a

•

b

）•

c

=

a

•（

b

•

c

），
∴

a

∥

c

是（

a

•

b

）•

c

=

a

•（

b

•

c

）的充分条件，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义和运算，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．