Question

【题目】已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣1，3）=﹣1，下列命题中正确的是（ ） ①函数f（x）=[x）﹣x的值域是（0，1]
②若{an}是等差数列，则{[an）}也是等差数列
③若{an}是等比数列，则{[an）}也是等比数列
④若x∈（1，2017），则方程[x）﹣x=sin x有1007个根．
A.②
B.③④
C.①
D.①④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：对①，当x为整数时，[x）=x+1，即[x）﹣x=1，当x不为整数时，0＜[x）﹣x＜1，所以函数f（x）=[x）﹣x的 值域是（0，1]即①对； 对②，当数列{an}是整数构成的等差数列，则数列{[an）}也是等差数列；当{an}不是整数构成的等差数列，则数列{[an）}不是等差数列．
例如：数列{an}：0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1；那么数列
{[an）}：1，1，1，1，1，1，2，2显然不是等差数列．故②错；
对③，可取等比数列{an}：1，2，4，8，16；则数列{[an）}为：2，3，5，9，17显然不是等比数列，故③错；
对④，因为x∈（1，2017），函数f（x）=[x）﹣x=sin x的周期T=4，在（1，5]内有两个根，一个根x∈（4，5），另一个根x=5．因此方程[x）﹣x=sin x在区间（1，2017）内共有504×2﹣1=1007个根．
故④对．
故选：D．
【考点精析】关于本题考查的等比数列的通项公式（及其变式），需要了解通项公式：才能得出正确答案．