Question

设圆C：（x-2）²+y²=3，此圆与抛物线y²=px（p＞0）有四个不同的交点，若在x轴上方的两交点分别为A，B，坐标原点为O，△AOB的面积为s．
（1）求实数p的取值范围；
（2）求s关于p的函数f（p）的表达式及s的取值范围．

Answer 1

分析：（1）圆C：（x-2）²+y²=3与抛物线y²=px（p＞0）联立，利用曲线有四个不同的交点，A，B在x轴上方，即可求得实数p的取值范围；
（2）利用韦达定理确定直线AB的方程，求出|AB|，O到AB的距离，即可求s关于p的函数f（p）的表达式，利用基本不等式，即可求s的取值范围．

解答：解：（1）圆C：（x-2）²+y²=3与抛物线y²=px（p＞0）联立，得到x²+（p-4）x+1=0，
又因为

(p-4)2-4＞0 4-p＞0

，解得0＜p＜2
所以实数p的取值范围是0＜p＜2…..（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）可得x₁+x₂=4-p，x₁x₂=1，y₁y₂=p
由

y

2 1

+

y

2 2

=p(x1+x2)得到y1+y2=

6p-p2

…..（6分）
因为kAB=

y1-y2

x1-x2

=

p

y1+y2

，所以l_AB：y-y1=

p

y1+y2

(x-x1)，整理得到px-

6p-p2

y+p=0…..（8分）所以O到AB的距离为d=

p 6

…..（10分）
因为|AB|=

[(x1+x2)2-4x1x2]+[(y1+y2)2-4y1y2]

=

12-6p

，
所以s=

1

2

•

12-6p

•

p 6

=

1

2

p(2-p)

因为s=

1

2

p(2-p)

≤

1

2

，所以s∈(0，

1

2

]…..（12分）

点评：本题考查圆与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．