Question

10．是否存在a，b，c使等式（$\frac{1}{n}$）²+（$\frac{2}{n}$）²+（$\frac{3}{n}$）²+…+（$\frac{n}{n}$）²=$\frac{a{n}^{2}+bn+c}{n}$对一切n∈N^*都成立若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 分别取n=1，2，3，得到关于a，b，c的方程组解得即可，先根据当n=1时，把n=1代入求值等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意n∈N^*时都成立

解答 解：取n=1，2，3可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{8a+4b+2c=5}\\{27a+9b+3c=14}\end{array}\right.$解得：a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{6}$．
下面用数学归纳法证明（$\frac{1}{n}$）²+（$\frac{2}{n}$）²+（$\frac{3}{n}$）²+…+（$\frac{n}{n}$）²=$\frac{2{n}^{2}+3n+1}{6n}$=$\frac{（n+1）（2n+1）}{6n}$．
即证1²+2²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），
①n=1时，左边=1，右边=1，∴等式成立；
②假设n=k时等式成立，即1²+2²+…+k²=$\frac{1}{6}$k（k+1）（2k+1）成立，
则当n=k+1时，等式左边=1²+2²+…+k²+（k+1）²═$\frac{1}{6}$k（k+1）（2k+1）+（k+1）²=$\frac{1}{6}$[k（k+1）（2k+1）+6（k+1）²]=$\frac{1}{6}$（k+1）（2k²+7k+6）=$\frac{1}{6}$（k+1）（k+2）（2k+3），
∴当n=k+1时等式成立；
由数学归纳法，综合①②当n∈N^*等式成立，
故存在a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{6}$使已知等式成立．

点评 本题主要考查归纳推理，数学归纳法，数列的通项等相关基础知识．考查运算化简能力、推理论证能力和化归思想