Question

18．在△ABC中，A=30°，AB=3，$AC=2\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BD}=\overrightarrow 0$，则$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}$=-6．

Answer 1

分析 根据题意建立直角平面坐标系，得出△ABC是直角三角形，利用坐标表示向量$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{CD}$，求出$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CD}$即可．

解答 解：如图所示，

△ABC中，A=30°，AB=3，$AC=2\sqrt{3}$，
∴cos30°=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ABC=90°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$；
又$\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BD}=\overrightarrow 0$，
∴A（0，3），D（0，1），C（$\sqrt{3}$，0）；
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CD}$=$\sqrt{3}$×（-$\sqrt{3}$）-3×1=-6．
故答案为：-6．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．