Question

10．设f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1]时，f（x）=log₂x，则f（x）在区间（l，2）上是（　　）

• A． 减函数，且f（x）＜0
• B． 减函数，且f（x）＞O
• C． 增函数，且f（x）＜0
• D． 增函数，且f（x）＞0

Answer 1

分析 先设x∈（1，2），利用周期性和符号把“2-x”转化到区间（0，1），代入函数解析式，再利用奇函数的定义和周期性，求出f（x）在（1，2）上的解析式．

解答 解：设x∈（1，2），则-1＜x-2＜0，∴0＜2-x＜1，
∵当x∈（0，1）时，f（x）=log₂x，∴f（2-x）=log₂（2-x），
∵f（x）是R上以2为周期的奇函数，
∴f（x-2）=-f（2-x）=-log₂（2-x），f（x）=f（x-2）=-log₂（2-x），
∴f（x）=-log₂（2-x），
由0＜2-x＜1，得：f（x）＞0，是增函数，
故选：D．

点评 本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用函数的周期和负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义和周期性求出f（x）．