Question

（12分）已知函数对于任意的满足.

（1）求的值；

（2）求证：为偶函数；

（3）若在上是增函数，解不等式

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）证明：见解析；

（3）x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]。

【解析】(1)根据x,y取值的任意性，可令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.

再令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0.

(2) 令，得, ∵ ,∴

至此确定为偶函数；

(3) 由（2） 函数是定义在非零实数集上的偶函数．

∴不等式可化为,

从而进一步转化为，解此不等式组即可.

（1）解：∵对于任意的满足

            ∴令，得到：

              令，得到：

   （2）证明：有题可知，令，得

              ∵      ∴

            ∴为偶函数；

（3）由（2） 函数是定义在非零实数集上的偶函数．

∴不等式可化为

     ∴.即：且

在坐标系内，如图函数图象与两直线．

 

 由图可得x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]

 故不等式的解集为：[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]