Question

4．已知等差数列{a_n}满足a₃=15且S₄=64．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=21-2n．令a_n≥0，取n≤10．当1≤n≤10时，|a_n|=a_n，即可得出数列{|a_n|}的前n项和T_n=S_n．当n≥11时，T_n=2S₁₀-S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=15且S₄=64．
∴a₁+2d=15，$4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}$d=64，
解得a₁=19，d=-2．
∴S_n=19n-2×$\frac{n（n-1）}{2}$=-n²+20n．
（2）由（1）可得：a_n=19-2（n-1）=21-2n．
令a_n≥0，解得n≤$\frac{21}{2}$，取n≤10．
∴当1≤n≤10时，|a_n|=a_n，
∴数列{|a_n|}的前n项和T_n=S_n=-n²+20n．
当n≥11时，T_n=a₁+a₂+…+a₁₀-a₁₁-…-a_n
=2S₁₀-S_n
=2×（-10²+20×10）-（-n²+20n）
=n²-20n+200．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+20n，1≤n≤10}\\{{n}^{2}-20n+200，n≥11}\end{array}\right.$，（n∈N^*）．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值的数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．