Question

9．已知S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且满足S_n=$\frac{1}{2}$a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=n•（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出数列的首项为1，将n换为n-1，两式相减可得a_n-a_n-1=1，由等差数列的通项公式，计算即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=n•（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$a₁²+$\frac{1}{2}$a₁，
解得a₁=1（负的舍去），
S_n=$\frac{1}{2}$a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），
将n换为n-1，可得S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1²+$\frac{1}{2}$a_n-1，
相减可得a_n=$\frac{1}{2}$a_n²-$\frac{1}{2}$a_n-1²+$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1，
化为a_n+a_n-1=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
可得a_n-a_n-1=1，
即有a_n=1+n-1=n；
（Ⅱ）b_n=n•（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n项和T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
相减可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用下标变换相减法，考查等差数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．