Question

20．已$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$=λ（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$）（λ∈R），则|$\overrightarrow{c}$|的最小值为（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为平面内两个互相垂直的单位向量，设$\overrightarrow{a}$（1，0），$\overrightarrow{b}$（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），得到|$\overrightarrow{c}$|²=$\frac{1}{（λ-1）^{2}}$+$\frac{{λ}^{2}}{（λ-1）^{2}}$=$\frac{1+{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}-2λ}$，再构造函数y=$\frac{1+{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}-2λ}$利用判别式法求出此函数的最小值，再开方后就是所求的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为平面内两个互相垂直的单位向量，
设$\overrightarrow{a}$（1，0），$\overrightarrow{b}$（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$=λ（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$），
∴（1+x，y）=λ（x，1+y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+x=λx}\\{y=λ（1+y）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{λ-1}}\\{y=\frac{λ}{1-λ}}\end{array}\right.$，
∴|$\overrightarrow{c}$|²=$\frac{1}{（λ-1）^{2}}$+$\frac{{λ}^{2}}{（λ-1）^{2}}$=$\frac{1+{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}-2λ}$，
令y=$\frac{1+{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}-2λ}$，则（y-1）x²-2yx+y-1=0，此方程有实根，
由△=4y²-4（y-1）²≥0得，2y-1≥0，解得y≥$\frac{1}{2}$，
即|$\overrightarrow{c}$|²≥$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：B．

点评 本小题主考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时进行移项，向量求模的方法是根据模的平方等于向量的平方，考查了很少用的“判别式法求函数的最值”，难度较大．