Question

5．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，分别根据下列条件，求∠C，c，∠B（精确到0.1）
（1）a=4，b=5，∠A=60°；
（2）a=4，b=3，∠A=45°；
（3）a=4，b=2，∠A=30°；
（4）a=4，b=2，∠A=75°．

Answer 1

分析 利用正弦定理求出B，根据三角形的内角和求出C，在利用正弦定理计算c．

解答 解：（1）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{sinB}$，解得sinB=$\frac{5\sqrt{3}}{8}$＞1．
∴三角形无解．
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3}{sinB}$，解得sinB=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∵b＜a，∴B＜45°，∴B≈32°，
∴C=180°-45°-32°=103°．
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{4}{sin45°}=\frac{c}{sin103°}$，∴c=$\frac{4sin103°}{sin45°}$≈5.5．
（3）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{4}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{sinB}$，解得sinB=$\frac{1}{4}$，
∵b＜a，∴B＜30°，∴B≈14.5°，
∴C=180°-30°-14.5°=135.5°．
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=$\frac{c}{sin135.5°}$，∴c=8sin135.5°≈5.6．
（4））由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{4}{sin75°}=\frac{2}{sinB}$，解得sinB=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{8}$，
∵b＜a，∴B＜75°，∴B≈28.9°，
∴C=180°-75°-28.9°=76.1°．
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{4}{sin75°}=\frac{c}{sin76.1°}$，∴c=$\frac{4sin76.1°}{sin75°}$≈4.0．

点评 本题考查了正弦定理，解三角形，属于基础题．