Question

10．如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（1）求三棱锥C₁-BCD的体积；
（2）求证：平面C₁BD⊥平面A₁B₁CD．

Answer 1

分析 （1）代入棱锥的体积公式计算即可；
（2）由正方体的结构特征得出BC₁⊥B₁C，CD⊥平面BCC₁B₁，故CD⊥BC₁，于是BC₁⊥平面A₁B₁CD，从而平面C₁BD⊥平面A₁B₁CD．

解答 （1）解：S_△BCD=$\frac{1}{2}×BC×CD$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴V${\;}_{{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•C{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．
（2）证明：连结B₁C，A₁D，
∵CD⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴CD⊥BC₁，
∵四边形BCC₁B₁是正方形，
∴BC₁⊥B₁C，又CD?平面A₁B₁CD，B₁C?平面A₁B₁CD，CD∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，
又BC₁?平面C₁BD，
∴平面C₁BD⊥平面A₁B₁CD．

点评 本题考查了面面垂直的判定，正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．