Question

19．已知$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{1}{2}$，求：
（1）3cos²θ-sin2θ+1；
（2）$\frac{1-2co{s}^{2}\frac{θ}{2}+2sinθ}{2sin（θ+\frac{3π}{4}）}$．

Answer 1

分析 利用条件，弦化切，再代入计算，即可得出结论．

解答 解：∵$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{1}{2}$，
∴2sinθ-2cosθ=sinθ+cosθ，
∴sinθ=3cosθ，
∴tanθ=3．
（1）3cos²θ-sin2θ+1=4cos²θ-2sinθcosθ+sin²θ=$\frac{4co{s}^{2}θ-2sinθcosθ+s{in}^{2}θ}{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=$\frac{4-2tanθ+ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{4-2×3+9}{1+9}$=$\frac{7}{10}$；
（2）$\frac{1-2co{s}^{2}\frac{θ}{2}+2sinθ}{2sin（θ+\frac{3π}{4}）}$=$\frac{-cosθ+2sinθ}{-\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ}$=$\frac{-1+2tanθ}{-\sqrt{2}tanθ+\sqrt{2}}$=$\frac{5}{-2\sqrt{2}}$=-$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查三角函数值的计算，考查学生的计算能力，正确弦化切是关键．