Question

20．sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，α∈（0，π），求
（1）cos2α
（2）tanα

Answer 1

分析 （1）将式子sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，两边平方后，求出2sinαcosα的值，结合α的范围判断出sinα-cosα的符号，再由平方关系求出sinα-cosα的值．
（2）由（1）可得：sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，联立解得sinα，cosα的值，利用同角三角函数基本关系式即可得解．

解答 解：（1）由题意得，sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
两边平方得，2sinαcosα=$\frac{1}{4}$＞0，
∵α∈（0，π），sinα＞0，
∴cosα＞0，α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：2α∈（0，π），
又∵（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=$\frac{3}{4}$，从而有：cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（4分）
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=±$\frac{\sqrt{15}}{4}$．…（6分）
（2）∵由（1）可得：sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}}\\{cosα=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4}}\\{cosα=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，
∴tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=4-$\sqrt{15}$或4+$\sqrt{15}$．…（12分）

点评 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数的符号，注意需要结合式子的符号进行判断，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．