Question

已知点P（3，4）和圆C：（x-2）²+y²=4，A，B是圆C上两个动点，且|AB|=2

3

，则

OP

•（

OA

+

OB

）（O为坐标原点）的取值范围是（　　）

• A、[3，9]
• B、[1，11]
• C、[6，18]
• D、[2，22]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：设线段AB的中点为D，可得

3

=|CD|，即点D在圆：（x-2）²+y²=1上，可设点D（2+cosα，sinα），
求得

OP

•（

OA

+

OB

）=

OP

•2

OD

=12+10sin（α+θ），可得

OP

•（

OA

+

OB

）的范围．

解答： 解：设线段AB的中点为D，∵|AB|=2

3

，∴|AD|=

3

，
则|CD|=1，即D的轨迹以C为圆心半径为1的圆，
即点D在圆（x-2）²+y²=1上，可设点D（2+cosα，sinα），
则

OP

•（

OA

+

OB

）=

OP

•2

OD

=（6，8）•（2+cosα，sinα）=12+6cosα+8sinα
=12+10sin（α+θ），其中，sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

，
∴

OP

•（

OA

+

OB

）的最小值为12-10=2，最大值为12+10=22，
∴

OP

•（

OA

+

OB

）的范围是[2，22]．
故选：D．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，辅助角公式的应用，两个向量的数量积的运算，属于中档题．